单侧参数假设检验的拒绝域

参数的假设检验中有这样一种情况：

$$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0;$$

这种情况下怎么找拒绝域？尼电概率论课本讲的十分不清楚。

1 单侧区间估计

在区间估计部分有单侧置信区间的估计。

比如要估计$\mu$在某个可信度$\alpha$下的置信区间下限，也就是：

$$\mu \in [{\mu }_0,\infty ]$$

做法是找一个$\mu$的良好估计量，构造统计量：

$$X=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

根据$\mu$的取值是哪一侧的来确定选择$P(X>u_{\alpha })=\alpha$还是 选择$P(X>u_{1-\alpha })=\alpha$ 然后把$X$带入，解出来${\mu }_0$.

2 单侧的参数假设检验

首先问题1：

$$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0;$$

和问题2：

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0;$$

有相同的拒绝域。

可以把问题1分为两部分。

$$\mu <{\mu }_0{H}_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0;$$

$$\mu >{\mu }_0{H}_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0;$$

拒绝域是让$H_1$被接受的检验统计量的取值范围，对于第一个部分， 显然没有拒绝域，因此原问题的拒绝域就是第二部分的拒绝域。 （$H_0$和$H_1$仍然是对立的，$\mu$的定义域变为$\mu \ge {\mu }_0$）

我们采用反证法的思想，假设$H_0$成立，然后构造一个小概率事件，基于小概率事件原理，在一次抽样中这个小概率事件不会发生，如果发生了，说明假设不对，$H_0$应该是不成立，如果没有发生，那就没有理由拒绝$H_0$.这里小概率事件发生的概率就是显著性水平$\alpha$.

首先假设$H_0$成立，即$\mu ={\mu }_0$.

和区间估计一样，选择一个$\mu$的良好近似来构造小概率事件。选择$\bar{X}$，构造

$$X=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

现在要计算拒绝域，拒绝域就是$H_1$成立的时候$X$的取值范围，也就是要让${\mu }_0<\mu$，也就是那个小概率事件发生了。可以知道$X\in \text{拒绝域}$的概率就是选取的小概率事件发生的概率$\alpha$，于是可以确定拒绝域了，就是根据${\mu }_0<\mu$，选择$P(X>u_{\alpha })=\alpha$或者$P(X>u_{1-\alpha })=\alpha$

发现这和置信区间的计算十分类似。一般来说也只有待估计的参数（或者参数假设）是$\mu$的时候才会搞不太清改取哪边。因为常用的四个分布（$N(0,1),{\chi }^2,F,T$）中，${\chi }^2,F$分布都用来构造和${\sigma }^2$相关的统计量，然而这两个分布取值范围都是0到正无穷，${\sigma }^2$也大于0，只有一侧。而构造和$\mu$有关的统计量的时候往往会用$N(0,1)$和$T$分布。

看到有这样的说法：单侧的假设检验的拒绝域直接让构造的统计量不等号方向与$H_1$中的不等号方向一样。比如($H_1:\mu >{\mu }_0;$ $X=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}>u_{\alpha }$)， 这是因为常用的构造的统计量中${\mu }_0$或者${\sigma }^2$都和构造的统计量大小负相关，看起来刚好是这样。