参数的假设检验中有这样一种情况：
\[H_0:\mu\leq\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;\]
这种情况下怎么找拒绝域？尼电概率论课本讲的十分不清楚。
1 单侧区间估计
在区间估计部分有单侧置信区间的估计。
比如要估计\(\mu\)在某个可信度\(\alpha\)下的置信区间下限，也就是：
\[\mu\in[\mu_0,\infty]\]
做法是找一个\(\mu\)的良好估计量，构造统计量：
\[X=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\]
根据\(\mu\)的取值是哪一侧的来确定选择\(P(X>u_\alpha)=\alpha\)还是 选择\(P(X>u_{1-\alpha})=\alpha\) 然后把\(X\)带入，解出来\(\mu_0\).
2 单侧的参数假设检验
首先问题1：
\[H_0:\mu\leq\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;\]
和问题2：
\[H_0:\mu=\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;\]
有相同的拒绝域。
可以把问题1分为两部分。
\[\mu<\mu_0 \quad H_0:\mu\leq\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;\]
\[\mu>\mu_0 \quad H_0:\mu\leq\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;\]
拒绝域是让\(H_1\)被接受的检验统计量的取值范围，对于第一个部分， 显然没有拒绝域，因此原问题的拒绝域就是第二部分的拒绝域。 （\(H_0\)和\(H_1\)仍然是对立的，\(\mu\)的定义域变为\(\mu\geq\mu_0\)）
我们采用反证法的思想，假设\(H_0\)成立，然后构造一个小概率事件，基于小概率事件原理，在一次抽样中这个小概率事件不会发生，如果发生了，说明假设不对，\(H_0\)应该是不成立，如果没有发生，那就没有理由拒绝\(H_0\).这里小概率事件发生的概率就是显著性水平\(\alpha\).
首先假设\(H_0\)成立，即\(\mu=\mu_0\).
和区间估计一样，选择一个\(\mu\)的良好近似来构造小概率事件。选择\(\bar{X}\)，构造
\[X=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\]
现在要计算拒绝域，拒绝域就是\(H_1\)成立的时候\(X\)的取值范围，也就是要让\(\mu_0<\mu\)，也就是那个小概率事件发生了。可以知道\(X\in \text{拒绝域}\)的概率就是选取的小概率事件发生的概率\(\alpha\)，于是可以确定拒绝域了，就是根据\(\mu_0<\mu\)，选择\(P(X>u_\alpha)=\alpha\)或者\(P(X>u_{1-\alpha})=\alpha\)
发现这和置信区间的计算十分类似。一般来说也只有待估计的参数（或者参数假设）是\(\mu\)的时候才会搞不太清改取哪边。因为常用的四个分布（\(N(0,1), \chi^2,F,T\)）中，\(\chi^2,F\)分布都用来构造和\(\sigma^2\)相关的统计量，然而这两个分布取值范围都是0到正无穷，\(\sigma^2\)也大于0，只有一侧。而构造和\(\mu\)有关的统计量的时候往往会用\(N(0,1)\)和\(T\)分布。
看到有这样的说法：单侧的假设检验的拒绝域直接让构造的统计量不等号方向与\(H_1\)中的不等号方向一样。比如(\(H_1:\mu>\mu_0;\) \(X=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}>u_\alpha\))， 这是因为常用的构造的统计量中\(\mu_0\)或者\(\sigma^2\)都和构造的统计量大小负相关，看起来刚好是这样。