矩估计

复习计量经济学，看到矩估计

总体服从含有未知参数的某种分布，有该总体的一些样本，要从样本估计参数，只要找到一些在这个分布当中可以用位置参数表示出来的 统计量（我认为统计量就是在这个分布上我感兴趣的任意的能计算出来的变量），然后在样本上同样计算这个统计量，就得到了含参数的方程， 解出其中的未知参数就行了。

这个统计量的选取我认为选什么都行，但是常用的是中心矩和原点矩，方差均值之类的。如果假设只是用中心矩和原点矩，中心矩是可以用原点矩表示的， 比如方差（二阶中心矩）可以表示成二阶原点矩减去一阶原点矩的平方，因此只用原点矩一定可以估计能用中心矩估计的所有参数，而且我认为结果会是一致的，但是对于一个分布，如何能知道 选取的原点矩和原点矩的组合能够用未知参数表示出来？比如总体服从正态分布$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ 用一、二阶原点矩来估计，一阶=样本均值，可以算出$\mu$ 现在考虑二阶原点矩，我的理解是，$\frac{\sum X_i^2}{n}$表示的是正态分布的平方这个分布的均值。但是正态分布的平方是什么分布我不知道，而重新考虑方差（二阶中心矩），可以把它理解成一个给定的正态分布$\mathcal{N}$的2（或者k）次方及以下的组合，类似一个多项式，然后方差就是这个新的分布的均值，那么又如何能知道某个多项式对应的分布的均值可以轻松表示出来呢？我认为这是矩估计的时候要进行矩的挑选的原因，从已知的类似方差和均值的统计量出发，确定那个决定分布组合的多项式。

此外，我认为矩估计是可以使用任意统计量的,只要能在总体的分布下能用未知的参数表示出来,所以决定分布的甚至不一定是多项式。

第二，在我选择好了某个”多项式”，确定了新的分布，并且得到了新的分布的期望用参数表示的结果后，我要用样本计算这个统计量的数值来列方程组，但是虽然对于原来的总体$X$，用$\frac{\sum X_i}{n}$确实是期望的无偏估计，但是在新的分布中$\frac{\sum X_i}{n}$未必是期望的无偏估计，比如说原来的总体为$X$，新的总体为$Y=X^2-E(x{)}^2$，其实$Y$的均值就是方差，但是对于样本来说他却不是$X$的方差的无偏估计，不过对于$Y$来说算数平均值还是$Y$的均值的无偏估计，感觉非常神奇。

1 upd 6/14

12号看到矩估计和GMM的时候感觉很神奇啊，和概率论与数理统计学的完全不同啊，现在看来只能说是概率论忘光了，感觉没什么意义

但是虽然对于原来的总体$X$，用$\frac{\sum X_i}{n}$确实是期望的无偏估计，但是在新的分布中$\frac{\sum X_i}{n}$未必是期望的无偏估计，比如说原来的总体为$X$，新的总体为$Y=X^2-E(x{)}^2$，其实$Y$的均值就是方差，但是对于样本来说他却不是$X$的方差的无偏估计，不过对于$Y$来说算数平均值还是$Y$的均值的无偏估计，感觉非常神奇。

这根本就是因为算Y的时候用$X$的算数平均值代替了$EX$，这一步就不是无偏的了。